Parallelschaltung

Natürlich kann man die Widerstände auch nebeneinander, statt nacheinander schalten. Das könnte so aussehen:

Da die Widerstände "oben" beide mit dem Plus-Pol und "unten" mit dem Minus-Pol verbunden sind, ist die anliegende Spannung an den Widerständen auch gleich der Spannung der Batterie. Also U_b = U1 = U2.

Da alle Spannungen gleich sind, können wir sie auch der Einfachheit halber "U" nennen. Dadurch lässt sich nun schon der Strom berechnen, der durch einen Widerstand fließt.

I1 = U / R1
I1 = 12V / 100Ω
I1 = 120mA

I2 = U / R2
I2 = 12V / 50Ω
I2 = 240mA

Die Ströme I1 und I2 ergeben zusammen den Strom I_ges.
Um es mit dem Wasser zu erklären: Ein Wasserrohr teilt sich in zwei einzelne Rohre auf, in denen jeweils ein Schwamm steckt. Wenn durch das eine Rohr 120ml fließen können und durch das andere 240ml, so müssen durch das erste gemeinsame Rohr 360ml fließen.

I_ges = I1 + I2
I_ges = 120mA + 240mA
I_ges = 360mA

Bei einer Parallelschaltung ist es ebenfalls möglich mehrere Widerstände durch einen zu ersetzen. Dieser lässt sich auf verschiedenste Weisen ermitteln.

Wir wissen, dass durch beide Widerstände zusammen 360mA fließen. Zusätzlich beträgt die Spannung immer 12V. Durch das Ohmsche Gesetz lässt sich ein Widerstand ermitteln, durch den sich diese Gegebenheiten nicht verändern.

R_ges = U / I_ges
R_ges = 12V / 360mA
R_ges = 33,33Ω

Es ist natürlich immer etwas umständlich jeden einzelnen Strom zu errechnen, zu addieren und dadurch den Gesamtwiderstand zu ermitteln.

Die Eigenschaft eines Widerstandes lässt sich nicht nur durch den Widerstand in Ohm beschreiben, sondern auch über den so genannten "Leitwert". Dieser gibt nicht an, wie stark das Bauteil den Strom am Fluss hindert, sondern wie gut er ihn hindurch lässt.

Der Leitwert G hat die Einheit Siemens, abgekürz mit einem großen S.
Er ist der Kehrwert des Widerstandes, wird also durch G = 1 / R errechnet (und R = 1 / G).

In der Parallelschaltung ist es nämlich so, dass der Gesamtleitwert der Summe aller Teilleitwerte entspricht. Aber errechnen wir doch erst einmal die Leitwerte.

Es gilt also G_ges = G1 + G2 + G3 + ... + Gn

Angewendet auf unser Beispiel:

G1 = 1 / R1
G1 = 1 / 100Ω
G1 = 10mS

G2 = 1 / R2
G2 = 1 / 50Ω
G2 = 20mS

Nun lässt sich der Gesamtleitwert errechnen.

G_ges = G1 + G2
G_ges = 10mS + 20mS
G_ges = 30mS

Errechnen wir nun den Widerstand daraus:

R_ges = 1 / G_ges
R_ges = 1 / 30mS
R_ges = 33,33Ω

Es passt also.

Die ganze Formel für R_ges funktioniert auch mit R, wenn wir die Formel für G einsetzen. Ersetzen wir also jedes G_n durch 1 / R_n.


Mit einem einigermaßen brauchbaren Taschenrechner lässt sich das dann auch in wenigen Sekunden berechnen. Einfache Texas Instruments Rechner beispielsweise haben die Taste "1/x". Man tippt also den Widerstand ein, drückt die Taste, dann auf Plus, den nächsten Widerstand, die "1/x" Taste usw. Am Ende dann das Gleichheitszeichen und ein letztes Mal die "1/x" Taste (sonst hätte man G_ges).

Für die Berechnung eines Widerstandes, der lediglich 2 einzelne ersetzen soll, ist eine weitere Formel verbreitet. Sie lässt sich herleiten, indem man die normale Formel ein wenig bearbeitet.


Im ersten Schritt wird der Bruch 1/R1 mit R2 erweitert, der Bruch 1/R2 mit R1. Dadurch erhalten beide Brüche den gleichen Nenner und sie lassen sich zusammen fassen. Im letzten Schritt wird einfach auf beiden Seiten der Kehrwert genommen. Fertig ist die Formel. Testen wir sie doch einmal aus.

R_ges = (R1 * R2) / (R1 + R2)
R_ges = (100Ω * 50Ω ) / (100Ω + 50Ω )
R_ges = 5000Ω² / 150Ω
R_ges = 33,33Ω

Achtung: diese Formel lässt sich nicht durch R3 einfach vergrößern!